Voir la source de Préimage

{{voir|preimage}}
== {{langue|fr}} ==
=== {{S|étymologie}} ===
: {{composé de|m=1|lang=fr|pré-|image}}.

=== {{S|nom|fr}} ===
{{fr-rég|pʁe.i.maʒ}}
'''préimage''' {{pron|pʁe.i.maʒ|fr}} {{f}}
[[Fichier:Schéma image réciproque.png|vignette|Schéma, pour une [[application]] <math> f:X \mapsto Y </math>, de la '''préimage''' (ou l’[[image réciproque]]) d’un [[sous-ensemble]] <math> B </math> de <math> Y </math>.]]
# {{lexique|mathématiques|fr}} Pour une [[application]] <math> f </math> définie d’un [[ensemble]] <math> X </math> à un [[ensemble]] <math> Y </math> (<math> f:X \mapsto Y </math>) et un [[sous-ensemble]] <math> B </math> de l’[[ensemble]] de destination <math> Y </math> (<math> B \subseteq Y </math>), la ''préimage'' de <math> B </math>, <math> f^{-1}(B) </math>, est l’[[ensemble]] des [[élément|éléments]] de <math> X </math> envoyés dans <math> B </math> par <math> f </math> :<br><math>f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x)\in B\}</math>.
#* {{exemple
|Soit la fonction <math> f:\R \mapsto \R; f(x \in \R) = x^2 </math>.<br>La '''préimage''' de l’intervalle <math> [+4;+9] </math> est le double intervalle <math>[-3;-2] \cup [+2;+3]</math>.<br>La '''préimage''' de l’intervalle <math> [-9;+9] </math> est l’intervalle <math> [-3;+3] </math>.<br>La '''préimage''' de l’intervalle <math> [-9;-1] </math> est l’ensemble vide <math> \emptyset </math> (vu que <math> x^2 </math> est toujours positif).
|lang=fr}}
# {{en particulier}} {{lexique|mathématiques|fr}} Pour un seul [[élément]] <math> y </math> de l’[[ensemble]] de destination, la ''préimage'' de <math> y \in Y </math> est définie par : <math>f^{-1}(y) = \{x \in X \mid f(x) = y\}</math>, c’est-à-dire l’[[ensemble]] des [[antécédent|antécédents]] de <math> y </math>.
#* {{exemple
|Soit la fonction <math> f:\R \mapsto \R; f(x \in \R) = x^2 </math>.<br>La '''préimage''' de +9 est <math>\{-3;+3\}</math>.<br>La '''préimage''' de 0 est <math> \{0\} </math>.<br>La '''préimage''' de -4 est l’ensemble vide <math> \emptyset </math> (vu que <math> x^2 </math> est toujours positif).
|lang=fr}}

==== {{S|notes}} ====
* La ''préimage'' de <math> B </math> est en quelque sorte son « ensemble antécédent » (l’[[ensemble]] des [[antécédent|antécédents]] des [[élément|éléments]] de <math> B </math>).
* <math> f^{-1}(B) </math> est également une [[application]].
* L’expression de la seconde définition avec le formalisme de la première est triviale ; il suffit d'écrire : <math> B = \{y\} </math>.
* Si l’[[application]] <math> f </math> est [[bijective]], la ''préimage'' de chaque <math> y </math> devient un [[singleton]] contenant son seul et unique [[antécédent]] {{cf|bijection réciproque}}.

==== {{S|synonymes}} ====
* [[image réciproque]]

==== {{S|vocabulaire}} ====
* [[antécédent]]
* [[application]]
* [[bijection]]
* [[bijection réciproque]]
* [[ensemble]]
* [[ensemble d’arrivée]]
* [[ensemble de départ]]
* [[fonction]]
* [[fonction réciproque]]
* [[image]] ou [[image directe]]
* [[réciproque]]
* [[singleton]]
* [[sous-ensemble]]

==== {{S|traductions}} ====
{{trad-début}}
* {{T|de}} : {{trad+|de|Urbild|n}}
* {{T|en}} : {{trad+|en|preimage}}
* {{T|es}} : {{trad-|es|imagen inversa|f}}, {{trad-|es|antiimagen|f}}, {{trad-|es|contraimagen|f}}
* {{T|eo}} : {{trad-|eo|malbildo}}, {{trad-|eo|prabildo}}, {{trad-|eo|kontraŭbildo}}
{{trad-fin}}

=== {{S|anagrammes}} ===
{{voir anagrammes|fr}}

=== {{S|voir aussi}} ===
* {{WP}}