Préimage

Modèle:Langue

Modèle:S

Modèle:Composé de.

Modèle:S

Modèle:Fr-rég préimage Modèle:Pron Modèle:F

Schéma, pour une application $f:X\mapsto Y$, de la préimage (ou l’image réciproque) d’un sous-ensemble $B$ de $Y$.

1. Modèle:Lexique Pour une application $f$ définie d’un ensemble $X$ à un ensemble $Y$ ($f:X\mapsto Y$) et un sous-ensemble $B$ de l’ensemble de destination $Y$ ($B\subseteq Y$), la préimage de $B$, $f^{-1}(B)$, est l’ensemble des éléments de $X$ envoyés dans $B$ par $f$ :
   $f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$.
   • Modèle:Exemple
2. Modèle:En particulier Modèle:Lexique Pour un seul élément $y$ de l’ensemble de destination, la préimage de $y\in Y$ est définie par : $f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}$, c’est-à-dire l’ensemble des antécédents de $y$.
   • Modèle:Exemple

Modèle:S

• La préimage de $B$ est en quelque sorte son « ensemble antécédent » (l’ensemble des antécédents des éléments de $B$).
• $f^{-1}(B)$ est également une application.
• L’expression de la seconde définition avec le formalisme de la première est triviale ; il suffit d'écrire : $B=\{y\}$.
• Si l’application $f$ est bijective, la préimage de chaque $y$ devient un singleton contenant son seul et unique antécédent Modèle:Cf.

Modèle:S

• image réciproque

Modèle:S

• antécédent
• application
• bijection
• bijection réciproque
• ensemble
• ensemble d’arrivée
• ensemble de départ
• fonction
• fonction réciproque
• image ou image directe
• réciproque
• singleton
• sous-ensemble

Modèle:S

• Modèle:T : Modèle:Trad+
• Modèle:T : Modèle:Trad+
• Modèle:T : Modèle:Trad-, Modèle:Trad-, Modèle:Trad-
• Modèle:T : Modèle:Trad-, Modèle:Trad-, Modèle:Trad-

Modèle:S

• Modèle:WP